Image result for ‫تصاویر از فضای هیلبرت‬‎

Image result for ‫تصاویر کوچک اسماء الحسنی‬‎

   ((خَلقَ کُل شَِی فَقَدرُه تقدیرا.اِنَّ الله سَریعُ الحِساب.خَلقَ الله سَبعَ سَماوات طِباقا))))

 

بسم الله الرحمن الرحیم

 

 

معادله دیفرانسیل تصادفی

 
 
De template.svg
 
 
 
 
 

یک معادله ی دیفرانسیل تصادفی یا Stochastic Differential Equation یا SDE معادله ای است که در آن یک یا چند متغیر یک فرایند تصادفی هستند. در نهایت جواب این نوع معادلات خود نیز یک فرایند تصادفی هستند. استفاده از SDE ها در مدل سازی های پیچیده ی احتمال بسیار گسترده است؛ از جمله در مدل سازی هزینه ی نوسانات بازار یا مدل سازی فیزیکی نوسانات دمایی اشیا. معمولاً در این گونه مدل سازی ها از نویز سفید به عنوان پارامتر کاملاً تصادفی استفاده می شود که خود نوعی از فرایند تصادفی وینر (Wiener Process) است. اگرچه باید گفت که در مدل سازی تصادفی پارامترها در یک معادله ی دیفرانسیل تصادفی، استفاده از سایر فرایند های تصادفی نیز امکان پذیر است

 

پیشینه

قدیمی ترین کار در مورد SDE برای توصیف مقاله ی مشهور آلبرت اینشتین برای توصیف حرکت براونی انجام شد. اگرچه همزمان کارهایی هم توسط افراد دیگر در زمینه ی های مشابه انجام می شده است.

حل عددی

پاسخ عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی، بخصوص معادلات دیفرانسیل تصادفی پاره ای، به نسبت نسخه های غیرتصادفی، زمینه ای بسیار جدید است. تقریباً اکثر الگوریتم هایی که جواب های نسبتاً مناسبی برای معادلات دیرنسیل معمولی به دست می دهند، جواب هایی بسیار ضعیف در برابر نسخه ی تصادفی آن دارند. یکی از مشهورترین کتاب ها برای این دسته از مسئله ها، کتاب Kloeden & Platen (1995) است. از جمله ی راه حل های معرفی شده، روش اویلر-مارویاما (Euler–Maruyama method)، روش میلستین (Milstein method) و روش رنگه-کوتا برای معادلات دیفرانسیل تصادفی (Runge–Kutta method (SDE)) هستند.

کاربرد در فیزیک

معمولاً در فیزیک این معادلات به صورت معادلات لانگوین (Langevin equation) نوشته می شوند. به عنوان مثال، نمونه ای از معادلات دیفرانسیل تصادفی درجه اول به فرم زیر نوشته می شوند:

{\displaystyle {\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^{n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),\,}

که در آن {\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{i}|1\leq i\leq k\}} مجموعه ای از مجهولات، {\displaystyle f_{i}} و {\displaystyle g_{i}} توابعی دلخواه، {\displaystyle \eta _{m}} توابع تصادفی از زمان هستند که معمولاً نویز نامیده می شوند.

این معادله در حالت یک بعدی به صورت زیر می باشد .

{\displaystyle dx_{t}=\mu dt+\sigma dB_{t}}

در این معادله ضریب میو مقداری ثابت و همچنین سیگما نیز عددی ثابت می باشد .

راي مطالعه رفتار پديده هاي فيزيکي معمولا آنها را توسط معادلات ديفرانسيل مدلسازيمي کنند. در بسياري از اين پديده ها عواملي تصادفي دخالت دارند که باعث مي شود تااين مدلسازي توسط معادلات ديفرانسيل تصادفي صورت گيرد. اين عوامل تصادفي اغلب بهشکل نوفه سفيد ظاهر مي گردد. براي بررسي اين معادلات معمولا آنها را به شکلانتگرالي بيان مي کنيم. اما جمله انتگرالي مربوط به نوفه سفيد با انتگرالهاي ريمانو لبگ قابل محاسبه نمي باشد. براي رفع اين مشکل نياز به انتگرال ايتو مي باشد. مسلما تعداد زيادي از معادلات فوق حل تحليلي ندارند و ناگزير به استفاده از روشهايعددي براي حل آنها مي باشيم. در اين مقاله سعي داريم تا با معرفي روشهاي تقريبياويلر- مارياما و ميلشتاين مسير واقعي و تقريبي جواب را براي يک معادله از نوع فوقبررسي کنيم. چون فرآيند جواب اين دسته از معادلات شامل فرآيند وينر مي باشد و بهشکل تابع مشخصي از زمان موجود نيست، مجبوريم مسير جواب آنها را شبيه سازي کنيم. براي اين کار نياز به توليد اعداد تصادفي است و براي اين منظور از مولدهاي توليداعداد شبيه- تصادفي استفاده مي کنيم

 

  معادلات دیفرانسیل برای توصیف تحول سامانه های مکانیکی، اجتماعی، اقتصادی و غیره در طی زمان، همچنین برای مدلسازی پدیده هایی که به نوعی با حرکت) تغییر (سروکار دارند به کار می روند .تنوع پدیده ها، تنوع مدلها را ایجاب می کند .در این پایان نامه ضمن بیان ضرورت استفاده از حسابان تصادفی، مفاهیم اساسی آن از جمله انتگرال ایتو، فرآیند ایتو، فرمول ایتو و انتشار ایتو را با استفاده از مفهوم حرکت براونی مطالعه می کنیم .حسابان تصادفی در مطالعه ی معادله ها ی دیفرانسیل تصادفی نقشی برجسته ایفا می کند .معادلات تصادفی رشد و برخی معادلات دیگر از قبیل معادلات سهام، معادله ی لانگوین از جمله معادلاتی هستند که در این پایان نامه مورد برسی و تحقیق قرار گرفته اند . قضیه ی وجود و یکتایی جواب این معادلات بیان و اثبات و نیز مفاهیم جواب قوی و جواب ضعیف یک معادله ی دیفرانسیل تصادفی را بیان می کنیم .به علاوه بخشی از پایان نامه به ارائه ی روش هایی برای حل برخی معادلات دیفرانسیل تصادفی اختصاص یافته است. اما یک روش جایگزین برای مطالعه ی رفتار یک سامانه و حل معادله ی دیفرانسیل تصادفی مربوط به آن، حل معادله ی فاکر-پلانک مربوط به آن است .به هر معادله ی دیفرانسیل تصادفی یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی تعیینی وابسته می شود که به معادله ی فاکر-پلانک موسوم است .با حل این معادله و به دست آوردن جواب آن می توان گشتاورهای سامانه را مطالعه کرد .برای به دست آوردن معادله ی فاکر-پلانک از ضرایب معادله ی دیفرانسیل تصادفی و فرمول ایتو استفاده می کنیم. در صورتی که عامل تصادف، گاوسی نباشد، معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی متناظر با معادله ی بالا، از مرتبه ی دوم نخواهد بود .در این تحقیق با استفاده از مفاهیم مشتق کسری) ریمن-لیوویل و ریس(، انتگرال کسری، تبدیل فوریه ی کسری و لاپلاسین کسری، معادلات فاکر-پلانک کسری متناظر با یک معادله دیفرانسیل تصادفی شبه لانگوین با عامل تصادف دارای توزیع پایای لوی را به دست می آوریم و جواب حالت های خاصی از آن را ارائه می کنیم. کلمات کلیدی: فضای احتمال با پالایه، فرآیند حرکت براونی) وینری(انتگرال ایتو، نوفه ی سفید، مارتینگل، معادله دیفرانسیل تصادفی، جواب معادله ی دیفرانسیل ، معادله ی فاکر-پلانک، مشتق کسری، توزیع های پایا، تبدیل فوریه، معادله ی فاکر-پلانک کسری.

 

بر..