فتح 46=قانون اعداد بزرگ و کاربرد آن
(((((خَلقَ کُل شَِی فَقَدرُه تقدیرا.اِنَّ الله سَریعُ الحِساب.خَلقَ الله سَبعَ سَماوات طِباقا)))))
قانون اعداد بزرگ و پيشبيني حق بيمهها
بسم الله الرحمن الرحیم
میتوان قانون اعداد بزرگ را به صورت خلاصه شده به شکل زیر نوشت:
بدون اثبات ریاضی بر این باور بودند که دقت نتایج تجربی در امار با افزایش تعداد دفعات آزمایش بیشتر میشود. این فرضیه بعد ها تحت عنوان قانون اعدد بزرگ اثبات شد و مورد توجه قرار گرفت .حالت خاصی از این قانون برای متغیرهای برنولی اثبات شد . او این قانون را قضیه طلایی نامید، ولی بعد ها با نام قانون اعداد بزرگ مشهور شد
ا اكثريت شركتهاي بيمه يا بيمهگران وقتي ميزان خسارت پرداختي آنها از ميزان انتظاري آن بيشتر ميشود، نميخواهند يا نميتوانند مبلغي اضافه بر قرارداد بيمه از بيمهگذاران خود دريافت كنند. اتكاي آنان بايد بر سرمايه در گردش شركت (كه توسط سهامداران بهطور عمده از محل بازده سرمايهگذاريهاي مناسب شركت تامين شده است) براي جبران آن خسارتها باشد. يكي از مهمترين اهداف نظم و نسق بخشيدن به صنعت بيمه و نقش حياتي مقام ناظر، هم اطمينان از آن است كه شركتهاي بيمه هميشه يك حاشيه كافي از داراييها را بيشتر از بدهيها برآورد شده خود، با توجه به اهميت ريسكهاي ذاتي كسبوكار بيمهگري براي ادامه حيات اقتصادي و تجاري آن شركتها در نظر بگيرند.
گرچه تقسيم و تجميع (pooling) ريسك هنوز از اهميت خاصي برخوردار است؛ ولي در دنياي واقعي الگوي خسارت بيمهگران (سرقت اتومبيل يا آتشسوزي منازل) بيثبات است.
فرض كنيد، بهطور متوسط، از هر ده اتومبيل يكي از آنها در سال سرقت شود. اگر اين سرقتها مستقل از يكديگر باشند براي يك بيمهگر كه فقط ده اتومبيل را بيمه كرده است، شانس آنكه تعداد 2 يا بيشتر از آن اتومبيلها به سرقت رود يك به چهار است؛ بنابراين، هزينه خسارات انتظاري او 2 برابر است! بر اين مبنا شركت مزبور نميتواند به بيمهگري خود ادامه دهد.
اما اگر بهجاي آن عدد كوچك 10، تعداد 100 هزار اتومبيل بيمه ميشد، احتمال آنكه بيش از 10 هزار و 200 (يا كمتر از 9800) از آنها سرقت ميشدند فقط حدود يك درصد بود. اين مثال، مصداق خوبي براي تعريف عملياتي «قانون اعداد بزرگ» در بيمه است كه ميتوان آن را چنين مطرح كرد:
«فراواني مشاهده شده (تحقق يافته) يك رخداد يا واقعه وقتي تعداد آنها به سمت بينهايت ميل ميكند، به احتمال وقوع آن در جامعه آماري مربوطه بسيار نزديك ميشود. به زبان آمار، ميانگين موزون يا ارزش انتظاري يك متغير در «نمونه» با «جامعه» آن برابر ميشود و انحراف ديگر وجود ندارد. يادتان باشد فراواني نسبي در يك توزيع فراواني همان احتمال وقوع رخداد يا حادثه است. مثال كلاسيك آن پرتاب يك سكه سالم به هوا به دفعات بيشمار است كه احتمال وقوع آمدن شيريا خط 2/1 ميشود.
عبارت ديگر، در مثال بيمه اتومبيل، هر چه تعداد اتومبيلهاي بيمه شده زيادتر و بزرگتر شوند، دقت پيشبيني بيمهگر براي دستيابي به درصد احتمالي اتومبيلهايي كه سرقت ميشود بالاتر ميرود. اين جنبه از تئوري احتمالات است كه شركتهاي بيمه را قادر ميسازد كه با نوسانات الگوي خسارتها در عمل مقابله كنند. پذيرهنويسان بيمه (underwriter )
و آكچوئرها نيز معيارهاي خاصي را براي سنجش تفاوت خسارتهاي واقعي و ميانگين برآوردي آنها، وقتي حق بيمههارا تبيين كرده يا بدهيهاي بيمهگر را ارزيابي و برآورد ميكنند، در نظر ميگيرند كه مباحث خاص خود را دارد.
پيشبيني حق بيمهها
اصولا، قانون اعداد بزرگ، به آن معني است كه وقتي تعداد زيادي از عناصر يك جامعه آماري بهطور فردي با رخداد يا حادثهاي مواجه ميشوند، احتمال اينكه پيامد واقعي آن واقعه برابر پيامد و نتايج انتظاري آن باشد زياد و بزرگ است.
براي درك بهتر قانون اعداد بزرگ در كسبوكار بيمهگري، ميتوان ابتدا از زاويهاي ديگر به آن نگاه كرد. فرض كنيد، در خريد هر سه جين تخم مرغ از سوپر محله، بهطور «ميانگين» و متوسط، يكي از آنها شكسته است. بنابراين، انتظار ميرود، هر بار كه سه جين تخممرغ خريداري شود، احتمالا (هيچ تضميني وجود ندارد) يكي از آن شكسته باشد. هرچه تخم مرغ بيشتري خريداري شود، اين احتمال بيشتر ميشود. اگر شما بهجاي سه جين 12 جين تخم مرغ خريداري كنيد «احتمال» آنكه يكي از آنها در هر سه جين شكسته باشد بزرگتر ميشود. بههمين ترتيب اگر خريد خود را به 18 جين برسانيد باز با احتمال بزرگتري شاهد تخم مرغهاي شكسته بيشتر از يك دانه براي هر سه جين، خواهيد بود.
در شركتهاي بيمه اين مثال چگونه مصداق پيدا ميكند؟
بيمهگران براي كاهش خسارات ناشي از تقبل يا انتقال ريسك افراد به كمك تجميع (pooling) تعداد زيادي از آنهايي را كه در معرض ريسك مشتركي هستند بهصورت گروه بيمهشوندگان درميآورند. تعداد افراد حقيقي و حقوقي گروه مزبور بستگي به قدرت پيشبيني خسارتهاي مربوطه دارد. درست مثل خريد تخم مرغ در مثال بالا، هرچه تخم مرغ بيشتري خريداري شوند، احتمال اينكه ما به «تعداد» تخممرغهاي شكسته «آگاهي» بيشتري پيدا كنيم بزرگتر ميشود.
در اينجا ميتوانيم از بيمه اتومبيل كمك بگيريم. فرض كنيد يك شركت بيمه تحقيق عالمانهاي براي يك جامعه آماري بزرگ از رانندگان بالاي 18 سال مرد انجام داده است. يافتههاي تحقيق آن شركت را قادر ميسازد تا براي يكسال معين حادثهآفرينان مرد بالاي 18 سال را پيشبيني كند. آنها ميدانند كه به احتمال زياد x تعداد از آنها تصادف داشتهاند. اين آگاهي تعيينكننده بخش مهمي از حق بيمه پرداختي مردان بالاي 18سال براي بيمه اتومبيل است. (در كنار عوامل اثرگذار ديگري چون نوع اتومبيل، سن و سال آن و شرايط محيطي رانندگي در آن منطقه و ...)
قصد ارائه اين مثال آن بود تا چگونگي كاربرد قانون اعداد بزرگ را در تعيين نرخ تعرفهها و اينكه چرا نرخهاي بيمه براي هر فرد بايد با ديگري متفاوت باشد روشنتر كرده و از مفهوم كاربردي آن قانون تا حدي رفع ابهام شده باشد
باشد. هرچه تخم مرغ بیشتری خریداری شود، این احتمال بیشتر میشود. اگر شما بهجای سه جین 12 جین تخم مرغ خریداری کنید «احتمال» آنکه یکی از آنها در هر سه جین شکسته باشد بزرگتر میشود. بههمین ترتیب اگر خرید خود را به 18 جین برسانید باز با احتمال بزرگتری شاهد تخم مرغهای شکسته بیشتر از یک دانه برای هر سه جین، خواهید بود.
در شرکتهای بیمه این مثال چگونه مصداق پیدا میکند؟
بیمهگران برای کاهش خسارات ناشی از تقبل یا انتقال ریسک افراد به کمک تجمیع (pooeing) تعداد زیادی از آنهایی را که در معرض ریسک مشترکی هستند بهصورت گروه بیمهشوندگان درمیآورند. تعداد افراد حقیقی و حقوقی گروه مزبور بستگی به قدرت پیشبینی خسارتهای مربوطه دارد. درست مثل خرید تخم مرغ در مثال بالا، هرچه تخم مرغ بیشتری خریداری شوند، احتمال اینکه ما به «تعداد» تخممرغهای شکسته «آگاهی» بیشتری پیدا کنیم بزرگتر میشود.
در اینجا میتوانیم از بیمه اتومبیل کمک بگیریم. فرض کنید یک شرکت بیمه تحقیق عالمانهای برای یک جامعه آماری بزرگ از رانندگان بالای 18 سال مرد انجام داده است. یافتههای تحقیق آن شرکت را قادر میسازد تا برای یکسال معین حادثهآفرینان مرد بالای 18 سال را پیشبینی کند. آنها میدانند که به احتمال زیاد x تعداد از آنها تصادف داشتهاند. این آگاهی تعیینکننده بخش مهمی از حق بیمه پرداختی مردان بالای 18سال برای بیمه اتومبیل است. (در کنار عوامل اثرگذار دیگری چون نوع اتومبیل، سن و سال آن و شرایط محیطی رانندگی در آن منطقه و ...)
قصد ارائه این مثال آن بود تا چگونگی کاربرد قانون اعداد بزرگ را در تعیین نرخ تعرفهها و اینکه چرا نرخهای بیمه برای هر فرد باید با دیگری متفاوت باشد روشنتر کرده و از مفهوم کاربردی آن قانون تا حدی رفع ابهام شده باشد.